Электромагнитное поле. Электромагнитные волны
Что такое электромагнитное поле, как оно влияет на здоровье человека и зачем его измерять — вы узнаете из этой статьи. Продолжая знакомить вас с ассортиментом нашего магазина, расскажем о полезных приборах — индикаторах напряженности электромагнитного поля (ЭМП). Они могут применяться как на предприятиях, так и в быту.
Что такое электромагнитное поле?
Современный мир немыслим без бытовой техники, мобильных телефонов, электричества, трамваев и троллейбусов, телевизоров и компьютеров. Мы привыкли к ним и совершенно не задумываемся о том, что любой электрический прибор создает вокруг себя электромагнитное поле. Оно невидимо, но влияет на любые живые организмы, в том числе и на человека.
Электромагнитное поле — особая форма материи, возникающая при взаимодействии движущихся частиц с электрическими зарядами. Электрическое и магнитное поле взаимосвязаны друг с другом и могут порождать одно другое — именно поэтому, как правило, о них говорят вместе как об одном, электромагнитном поле.
К основным источникам электромагнитных полей относят:
— линии электропередач;
— трансформаторные подстанции;
— электропроводку, телекоммуникации, кабели телевидения и интернета;
— вышки сотовой связи, радио- и телевышки, усилители, антенны сотовых и спутниковых телефонов, Wi-Fi роутеры;
— компьютеры, телевизоры, дисплеи;
— бытовые электроприборы;
— индукционные и микроволновые (СВЧ) печи;
— электротранспорт;
— радары.
Влияние электромагнитных полей на здоровье человека
Электромагнитные поля влияют на любые биологические организмы — на растения, насекомых, животных, людей. Ученые, изучающие влияние ЭМП на человека, пришли к выводу, что длительное и регулярное воздействие электромагнитных полей может привести к:
— повышенной утомляемости, нарушениям сна, головным болям, снижению давления, снижению частоты пульса;
— нарушениям в иммунной, нервной, эндокринной, половой, гормональной, сердечно-сосудистой системах;
— развитию онкологических заболеваний;
— развитию заболеваний центральной нервной системы;
— аллергическим реакциям.
Защита от ЭМП
Существуют санитарные нормы, устанавливающие максимально допустимые уровни напряженности электромагнитного поля в зависимости от времени нахождения в опасной зоне — для жилых помещений, рабочих мест, мест возле источников сильного поля. Если нет возможности уменьшить излучение конструкционно, например, от линии электромагнитных передач (ЭМП) или сотовой вышки, то разрабатываются служебные инструкции, средства защиты для работающего персонала, санитарно-карантинные зоны ограниченного доступа.
Различные инструкции регламентируют время пребывания человека в опасной зоне. Экранирующие сетки, пленки, остекление, костюмы из металлизированной ткани на основе полимерных волокон способны снизить интенсивность электромагнитного излучения в тысячи раз. По требованию ГОСТа зоны излучения ЭМП ограждаются и снабжаются предупреждающими табличками «Не входить, опасно!» и знаком опасности электромагнитного поля.
Специальные службы с помощью приборов постоянно контролируют уровень напряженности ЭМП на рабочих местах и в жилых помещениях. Можно и самостоятельно позаботиться о своем здоровье, купив портативный прибор «Импульс» или комплект «Импульс» + нитрат-тестер «SOEKS» .
Зачем нужны бытовые приборы измерения напряженности электромагнитного поля?
Электромагнитное поле негативно влияет на здоровье человека, поэтому полезно знать, какие места, в которых вы бываете (дома, в офисе, на приусадебном участке, в гараже) могут представлять опасность. Вы должны понимать, что повышенный электромагнитный фон могут создавать не только ваши электрические приборы, телефоны, телевизоры и компьютеры, но и неисправная проводка, электроприборы соседей, промышленные объекты, расположенные неподалеку.
Специалисты выяснили, что кратковременное воздействие ЭМП на человека практически безвредно, но длительное нахождение в зоне с повышенным электромагнитным фоном опасно. Вот такие зоны и можно обнаружить с помощью приборов типа «Импульс». Так, вы сможете проверить места, где проводите больше всего времени; детскую и свою спальню; рабочий кабинет. В прибор занесены значения, установленные нормативными документами, так что вы сразу сможете оценить степень опасности для вас и ваших близких. Возможно, что после обследования вы решите отодвинуть компьютер от кровати, избавиться от сотового телефона с усиленной антенной, поменять старую СВЧ-печь на новую, заменить изоляцию дверцы холодильника с режимом No Frost.
Электромагнитное поле это такой вид материи, которая возникает вокруг движущихся зарядов. Например, вокруг проводника с током. Электромагнитное поле состоит из двух составляющих это электрическое и магнитное поле. Независимо друг от друга они существовать не могут. Одно порождает другое. При изменении электрического поля тут же возникает магнитное. Скорость распространения электромагнитной волны V=C/EM где e и м соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемость среды, в которой распространяется волна. Электромагнитная волна в вакууме распространяется со скоростью света, то есть 300 000 км/с. Поскольку диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума считается равными 1. При изменении электрического поля возникает магнитное поле. Так как вызвавшее его электрическое поле не является неизменным (то есть изменяется во времени) то и магнитное поле также будет переменным. Изменяющееся магнитное поле в свою очередь порождает электрическое поле и так далее. Таким образом, для последующего поля (неважно будет оно электрическое или магнитное) источником будет служить предыдущее поле, а не первоначальный источник, то есть проводник с током. Таким образом, даже после отключения тока в проводнике электромагнитное поле будет продолжать существовать и распространятся в пространстве. Электромагнитная волна распространяется в пространстве во все стороны от своего источника. Можно себе представить включению лампочку, лучи света от нее распространяются во все стороны. Электромагнитная волна при распространении переносит энергию в пространстве. Чем сильнее ток в проводнике вызвавший поле, тем больше энергия переносимая волной. Также энергия зависит от частоты излучаемых волн, при увеличении ее в 2,3,4 раза энергия волны увеличится в 4,9,16 раз соответственно. То есть энергия распространения волны пропорциональна квадрату частоты. Наилучшие условия распространения волн создаются, когда длинна проводника, равна длине волны. Силовые линии магнитного и электрического полетим взаимно перпендикулярно. Магнитные силовые линии охватывают проводник с током и всегда замкнуты. Электрические силовые линии идут от одного заряда к другому. Электромагнитная волна это всегда поперечная волна. То есть силовые линии как магнитные, так и электрические лежат в перпендикулярной плоскости к направлению распространения. Напряжённость электромагнитного поля силовая характеристика поля. Также напряженность, векторная величина то есть у нее есть начало и направление. Напряжённость поля направлена по касательной к силовым линиям. Поскольку напряжённость электрического и магнитного поля перпендикулярны между собой, то есть правило, по которому можно определить направление распространения волны. При вращении винта по кратчайшему пути от вектора напряжённости электрического поля к вектору напряжённости магнитного поля поступательное движение винта укажет направление распространения волны.
Магнитное поле и его характеристики. При прохождении электрического тока по проводнику вокруг него образуетсямагнитное поле . Магнитное поле представляет собой один из видов материи. Оно обладает энергией, которая проявляет себя в виде электромагнитных сил, действующих на отдельные движущиеся электрические заряды (электроны и ионы) и на их потоки, т. е. электрический ток. Под влиянием электромагнитных сил движущиеся заряженные частицы отклоняются от своего первоначального пути в направлении, перпендикулярном полю (рис. 34).Магнитное поле образуется только вокруг движущихся электрических зарядов, и его действие распространяется тоже лишь на движущиеся заряды. Магнитное и электрические поля неразрывны и образуют совместно единое электромагнитное поле . Всякое изменение электрического поля приводит к появлению магнитного поля и, наоборот, всякое изменение магнитного поля сопровождается возникновением электрического поля. Электромагнитное поле распространяется со скоростью света, т. е. 300 000 км/с.
Графическое изображение магнитного поля. Графически магнитное поле изображают магнитными силовыми линиями, которые проводят так, чтобы направление силовой линии в каждой точке поля совпадало с направлением сил поля; магнитные силовые линии всегда являются непрерывными и замкнутыми. Направление магнитного поля в каждой точке может быть определено при помощи магнитной стрелки. Северный полюс стрелки всегда устанавливается в направлении действия сил поля. Конец постоянного магнита, из которого выходят силовые линии (рис. 35, а), принято считать северным полюсом, а противоположный конец, в который входят силовые линии,- южным полюсом (силовые линии, проходящие внутри магнита, не показаны). Распределение силовых линий между полюсами плоского магнита можно обнаружить при помощи стальных опилок, насыпанных на лист бумаги, положенный на полюсы (рис. 35, б). Для магнитного поля в воздушном зазоре между двумя параллельно расположенными разноименными полюсами постоянного магнита характерно равномерное распределение силовых магнитных линий (рис. 36)
Электромагнитные поля и излучения окружают нас повсюду. Достаточно щелкнуть выключателем - и загорается свет, включить компьютер - и вы в Интернете, набрать номер на мобильном телефоне - и можно общаться с далекими континентами. Фактически именно электрические приборы создали современный мир таким, каким мы его знаем. Однако в последнее время все чаще поднимается вопрос о том, что электромагнитные поля (ЭМП), генерируемые электрооборудованием, вредны. Так ли это? Попробуем разобраться.
Начнем с определения. Электромагнитные поля, как известно из школьного курса физики, представляют собой особый Ключевая особенность подобных полей - это способность определенным образом взаимодействовать с телами и частицами, обладающими электрическим зарядом. Как следует из названия, электромагнитные поля являются совокупностью магнитного и электрического полей, причем в данном случае они так тесно взаимосвязаны, что их считают единым целым. Особенности взаимодействия с заряженными объектами объясняются с помощью
Впервые электромагнитные поля были математически выражены в теории Максвеллом в 1864 году. Собственно, именно он выявил неделимость магнитного и электрического полей. Одним из следствий теории являлся тот факт, что любое возмущение (изменение) электромагнитного поля является причиной появления электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме со Расчеты показали, что свет (все части спектра: инфракрасный, видимый, ультрафиолетовый) является именно электромагнитной волной. Вообще, классифицируя излучения по длине волны, различают рентгеновское, радио и пр.
Появлению теории Максвелла предшествовали работы Фарадея (в 1831 г.) по исследованию в проводнике, двигающемся или находящемся в периодически изменяющемся магнитном поле. Еще ранее, в 1819 году, Х. Эрстед обратил внимание, что если рядом с проводником с током поместить компас, то его стрелка отклоняется от естественного что позволило предположить о непосредственной связи магнитных и электрических полей.
Все это свидетельствует о том, что любой электроприбор является генератором электромагнитных волн. Данное свойство особенно ярко выражено для некоторых специфичных приборов и высокотоковых цепей. Как первые, так и вторые сейчас присутствуют практически в каждом доме. Так как ЭМП распространяется не только в проводящих материалах, но и в диэлектриках (например, вакуум), то человек постоянно находится в зоне их действия.
Если раньше, когда в помещении была только «лампочка Ильича», вопрос никого не беспокоил. Сейчас все иначе: измерение электромагнитного поля выполняется с помощью специальных приборов для измерения напряженности поля. Фиксируются обе составляющие ЭМП в определенном диапазоне частот (зависит от чувствительности прибора). В документе СанПиН указывается ПДН (допустимая норма). На предприятиях и в крупных компаниях периодически выполняются проверки ПДН ЭМП. Стоит отметить, что окончательных результатов исследований воздействия ЭМП на живые организмы все еще нет. Поэтому, например, при работе с вычислительной техникой рекомендуется организовывать 15-минутные перерывы после каждого часа - на всякий случай… Все объясняется довольно просто: вокруг проводника есть значит, присутствует и ЭМП. Оборудование полностью безопасно в том случае, когда из розетки выдернут шнур питания.
Очевидно, что полностью отказаться от использования электрической техники мало кто решится. Однако дополнительно обезопасить себя можно путем подключения домашних приборов в заземленную сеть, что позволяет потенциалу не собираться на корпусе, а «стекать» в контур заземления. Различные удлинители, особенно смотанные в кольца, усиливают ЭМП за счет взаимоиндукции. И, конечно, следует избегать близкого размещения сразу нескольких включенных приборов.
Электромагнитное поле - это порождающие друг друга переменные электрические и магнитные поля.
Теория электромагнитного поля создана Джеймсом Максвеллом в 1865 г.
Он теоретически доказал, что:
любое изменение со временем магнитного поля приводит к возникновению изменяющегося электрического поля, а всякое изменение со временем электрического поля порождает изменяющееся магнитное поле.
Если электрические заряды движутся с ускорением, то создаваемое ими электрическое поле периодически меняется и само создает в пространстве переменное магнитное поле и т.д.
Источниками электромагнитного поля могут быть:
- движущийся магнит;
- электрический заряд, движущийся с ускорением или колеблющийся (в отличие от заряда движущегося с постоянной скоростью, например, в случае постоянного тока в проводнике, здесь создается постоянное магнитное поле).
Электрическое поле существует всегда вокруг электрического заряда, в любой системе отсчета, магнитное – в той, относительно которой электрические заряды движутся.
Электромагнитное поле существует в системе отсчета, относительно которой электрические заряды движутся с ускорением.
ПОПРОБУЙ РЕШИ
Кусок янтаря потёрли о ткань, и он зарядился статическим электричеством. Какое поле можно обнаружить вокруг неподвижного янтаря? Вокруг движущегося?
Заряженное тело покоится относительно поверхности земли. Автомобиль равномерно и прямолинейно движется относительно поверхности земли. Можно ли обнаружить постоянное магнитное поле в системе отсчета, связанной с автомобилем?
Какое поле возникает вокруг электрона, если он: покоится; движется с постоянной скоростью; движется с ускорением?
В кинескопе создаётся поток равномерно движущихся электронов. Можно ли обнаружить магнитное поле в системе отсчёта, связанной с одним из движущихся электронов?
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
Электромагнитные волы - это электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью, зависящей от свойств среды
Свойства электромагнитных волн:
-распространяются не только в веществе, но и в вакууме;
- распространяются в вакууме со скоростью света (С = 300 000 км/c);
- это поперечные волны;
- это бегущие волны (переносят энергию).
Источником электромагнитных волн являются ускоренно движущиеся электрические заряды.
Колебания электрических зарядов сопровождаются электромагнитным излучением, имеющим частоту, равную частоте колебаний зарядов.
ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Все окружающее нас пространство пронизано электромагнитным излучением. Солнце, окружающие нас тела, антенны передатчиков испускают электромагнитные волны, которые в зависимости от их частоты колебаний носят разные названия.
Радиоволны-это электромагнитные волны (c длиной волны от более чем 10000м до 0,005м), служащие для передачи сигналов (информации) на расстояние без проводов.
В радиосвязи радиоволны создаются высокочастотными токами, текущими в антенне.
Радиоволны различной длины распространяются по-разному.
Электромагнитные излучения с длиной волны, меньшей чем 0,005м, но большей чем 770 нм, т. е. лежащие между диапазоном радиоволн и диапазоном видимого света, называются инфракрасным излучением (ИК).
Инфракрасное излучение испускают любые нагретые тела. Источниками инфракрасного излучения служат печи, батареи водяного отопления, электрические лампы накаливания. С помощью специальных приборов инфракрасное излучение можно преобразовать в видимый свет и получать изображения нагретых предметов в полной темноте. Инфракрасное излучение применяется для сушки окрашенных изделий, стен зданий, древесины.
К видимому свету относят излучения с длинной волны примерно от 770нм до 380нм, от красного до фиолетового света. Значения этого участка спектра электромагнитных излучений в жизни человека исключительно велико, так как почти все сведения об окружающем мире человек получает с помощью зрения. Свет является обязательным условием для развития зеленых растений и, следовательно, необходимым условием для существования жизни Земле.
Невидимое глазом электромагнитное излучение с длиннной волны меньше, чем у фиолетового света, называют ультрафиолетовым излучением (УФ).. Ультрафиолетовые излучение способно убивать белезнетворных бактерий, поэтому его широко применяют а медицине. Ультрафиолетовое излучение в составе солнечного света вызывает биологические процессы, приводящие к потемнению кожи человека – загару. В качестве источников ультрафиолетового излучения в медицине используются оразрядные лампы. Трубки таких ламп изготовляют из кварца, прозрачного для ультрафиолетовых лучей; поэтому эти лампы называют кварцевыми лампами.
Рентгеновские лучи (Ри) невидимы азом. Они проходят без существенного поглощения через значительные слои вещества, непрозрачного для видимого света. Обнаруживают рентгеновские лучи по их способности вызывать определенное свечение некоторых кристаллов и действовать на фотопленку. Способность рентгеновских лучей проникать через толстые слои веществ используется для диагностики заболеваний внутренних органов человека.
Шмелев В.Е., Сбитнев С.А.
"ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ"
"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ"
Глава 1. Основные понятия теории электромагнитного поля
§ 1.1. Определение электромагнитного поля и его
физических величин.
Математический аппарат теории
электромагнитного поля
Электромагнитным полем (ЭМП) называется вид материи, оказывающий на заряженные частицы силовое воздействие и определяемый во всех точках двумя парами векторных величин, которые характеризуют две его стороны - электрическое и магнитное поля.
Электрическое поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на электрически заряженную частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и не зависящей от ее скорости.
Магнитное поле - это составляющая ЭМП, которая характеризуется воздействием на движущуюся частицу с силой, пропорциональной заряду частицы и ее скорости.
Изучаемые в курсе теоретических основ электротехники основные свойства и методы расчета ЭМП предполагают качественное и количественное исследование ЭМП, встречающихся в электротехнических, радиоэлектронных и биомедицинских устройствах. Для этого наиболее пригодны уравнения электродинамики в интегральной и дифференциальной формах.
Математический аппарат теории электромагнитного поля (ТЭМП) базируется на теории скалярного поля, векторном и тензорном анализе, а также дифференциальном и интегральном исчислении.
1. Что такое электромагнитное поле?
2. Что называют электрическим и магнитным полем?
3. На чём базируется математический аппарат теории электромагнитного поля?
§ 1.2. Физические величины, характеризующие ЭМП
Вектором напряженности электрического поля в точке Q называется вектор силы, действующей на электрически заряженную неподвижную частицу, помещенную в точку Q , если эта частица имеет единичный положительный заряд.
В соответствии с этим определением электрическая сила, действующая на точечный заряд q равна:
где E измеряется в В/м.
Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции . Магнитная индукция в некоторой точке наблюдения Q - это векторная величина, модуль которой равен магнитной силе, действующей на заряженную частицу, находящуюся в точке Q , имеющую единичный заряд и движущуюся с единичной скоростью, причем векторы силы, скорости, магнитной индукции, а также заряд частицы удовлетворяют условию
.
Магнитная сила, действующая на криволинейный проводник с током может быть определена по формуле
.
На прямолинейный проводник, если он находится в однородном поле, действует следующая магнитная сила
.
Во всех последних формулах B - магнитная индукция, которая измеряется в теслах (Тл).
1 Тл - это такая магнитная индукция, при которой на прямолинейный проводник с током 1А действует магнитная сила, равная 1Н, если линии магнитной индукции направлены перпендикулярно проводнику с током, и если длина проводника равна 1м.
Кроме напряженности электрического поля и магнитной индукции в теории электромагнитного поля рассматриваются следующие векторные величины:
1) электрическая индукция D (электрическое смещение), которая измеряется в Кл/м 2 ,
Векторы ЭМП являются функциями пространства и времени:
где Q - точка наблюдения, t - момент времени.
Если точка наблюдения Q находится в вакууме, то между соответствующими парами векторных величин имеют место следующие соотношения
где - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума (основная электрическая постоянная), =8,85419*10 -12 ;
Абсолютная магнитная проницаемость вакуума (основная магнитная постоянная); = 4π*10 -7 .
Контрольные вопросы
1. Что такое напряжённость электрического поля?
2. Что называют магнитной индукцией?
3. Чему равна магнитная сила, действующая на движущуюся заряженную частицу?
4. Чему равна магнитная сила, действующая на проводник с током?
5. Какими векторными величинами характеризуется электрическое поле?
6. Какими векторными величинами характеризуется магнитное поле?
§ 1.3. Источники электромагнитного поля
Источниками ЭМП являются электрические заряды, электрические диполи, движущиеся электрические заряды, электрические токи, магнитные диполи.
Понятия электрического заряда и электрического тока даны в курсе физики. Электрические токи бывают трех типов:
1. Токи проводимости.
2. Токи смещения.
3. Токи переноса.
Ток проводимости - скорость прохождения подвижных зарядов электропроводящего тела через некоторую поверхность.
Ток смещения - скорость изменения потока вектора электрического смещения через некоторую поверхность.
.
Ток переноса характеризуется следующим выражением
где v - скорость переноса тел через поверхность S ; n - вектор единичной нормали к поверхности; - линейная плотность заряда тел, пролетающих через поверхность, в направлении нормали; ρ - объемная плотность электрического заряда; ρv - плотность тока переноса.
Электрическим диполем называется пара точечных зарядов +q и - q , находящихся на расстоянии l друг от друга (рис. 1).
Точечный электрический диполь характеризуется вектором электрического дипольного момента:
Магнитным диполем называется плоский контур с электрическим током I. Магнитный диполь характеризуется вектором магнитного дипольного момента
где S - вектор площади плоской поверхности, натянутой на контур с током. Вектор S направлен перпендикулярно этой плоской поверхности, причем, если смотреть из конца вектора S , то движение по контуру в направлении, совпадающим с направлением тока, будет происходить против часовой стрелки. Это означает, что направление вектора дипольного магнитного момента связано с направлением тока по правилу правого винта.
Атомы и молекулы вещества представляют собой электрические и магнитные диполи, поэтому каждую точку вещественного типа в ЭМП можно характеризовать объемной плотностью электрического и магнитного дипольного момента:
P - электрическая поляризованность вещества:
M - намагниченность вещества:
Электрическая поляризованность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности электрического дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.
Намагниченность вещества - это векторная величина, равная объемной плотности магнитного дипольного момента в некоторой точке вещественного тела.
Электрическое смещение - это векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того, находится ли она в вакууме или в веществе, определяется из соотношения:
(для вакуума или вещества),
(только для вакуума).
Напряженность магнитного поля - векторная величина, которая для любой точки наблюдения вне зависимости от того находится ли она в вакууме или в веществе определяется из соотношения:
,
где напряженность магнитного поля измеряется в А/м.
Кроме поляризованности и намагниченности существуют другие объемно-распределенные источники ЭМП:
- объемная плотность электрического заряда ; ,
где объемная плотность электрического заряда измеряется в Кл/м 3 ;
- вектор плотности электрического тока , нормальная составляющая которого равна
В более общем случае ток, протекающий через незамкнутую поверхность S , равен потоку вектора плотности тока через эту поверхность:
где вектор плотности электрического тока измеряется в А/м 2 .
Контрольные вопросы
1. Что является источниками электромагнитного поля?
2. Что такое ток проводимости?
3. Что такое ток смещения?
4. Что такое ток переноса?
5. Что такое электрический диполь и электрический дипольный момент?
6. Что такое магнитный диполь и магнитный дипольный момент?
7. Что называют электрической поляризованностью и намагниченностью вещества?
8. Что называется электрическим смещением?
9. Что называется напряжённостью магнитного поля?
10. Что такое объёмная плотность электрического заряда и плотность тока?
Пример применения MATLAB
Задача .
Дано : Контур с электрическим током I в пространстве представляет собой периметр треугольника, декартовы координаты вершин которого заданы: x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 , z 1 , z 2 , z 3 . Здесь нижние индексы - номера вершин. Вершины пронумерованы в направлении протекания электрического тока.
Требуется составить функцию MATLAB, вычисляющую вектор дипольного магнитного момента контура. При составлении m-файла можно предполагать, что пространственные координаты измеряются в метрах, а ток - в амперах. Допускается произвольная организация входных и выходных параметров.
Решение
% m_dip_moment - вычисление магнитного дипольного момента треугольного контура с током в пространстве
% pm = m_dip_moment(tok,nodes)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% tok - ток в контуре;
% nodes - квадратная матрица вида ." , в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.
% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР
% pm - матрица-строка декартовых компонентов вектора магнитного дипольного момента.
function pm = m_dip_moment(tok,nodes);
pm=tok*)]) det()]) det()])]/2;
% В последнем операторе вектор площади треугольника умножается на ток
>> nodes=10*rand(3)
9.5013 4.8598 4.5647
2.3114 8.913 0.18504
6.0684 7.621 8.2141
>> pm=m_dip_moment(1,nodes)
13.442 20.637 -2.9692
В данном случае получилось P M = (13.442*1 x + 20.637*1 y - 2.9692*1 z ) А*м 2 , если ток в контуре равен 1 А.
§ 1.4. Пространственные дифференциальные операторы в теории электромагнитного поля
Градиентом скалярного поля Φ(Q ) = Φ(x, y, z ) называется векторное поле, определяемое формулой:
,
где V 1 - область, содержащая точку Q ; S 1 - замкнутая поверхность, ограничивающая область V 1 , Q 1 - точка, принадлежащая поверхности S 1 ; δ - наибольшее расстояние от точки Q до точек на поверхности S 1 (max| Q Q 1 |).
Дивергенцией векторного поля F (Q )=F (x, y, z ) называется скалярное поле, определяемое по формуле:
Ротором (вихрем) векторного поля F (Q )=F (x, y, z ) называется векторное поле, определяемое по формуле:
rot F
= 
Оператор набла - это векторный дифференциальный оператор, который в декартовых координатах определяется формулой:
Представим grad, div и rot через оператор набла:
Запишем эти операторы в декартовых координатах:
; 
;
Оператор Лапласа в декартовых координатах определяется формулой:
Дифференциальные операторы второго порядка:
Интегральные теоремы
Теорема о градиенте 
;
Теорема о дивергенции 
Теорема о роторе 
В теории ЭМП применяется также ещё одна из интегральных теорем:
.
Контрольные вопросы
1. Что называется градиентом скалярного поля?
2. Что называется дивергенцией векторного поля?
3. Что называется ротором векторного поля?
4. Что такое оператор набла и как через него выражаются дифференциальные операторы первого порядка?
5. Какие интегральные теоремы справедливы для скалярных и векторных полей?
Пример применения MATLAB
Задача .
Дано : В объёме тетраэдра скалярное и векторное поля изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы матрицей вида [x 1 , y 1 , z 1 ; x 2 , y 2 , z 2 ; x 3 , y 3 , z 3 ; x 4 , y 4 , z 4 ]. Значения скалярного поля в вершинах заданы матрицей [Ф 1 ; Ф 2 ; Ф 3 ; Ф 4 ]. Декартовы компоненты векторного поля в вершинах заданы матрицей [F 1 x , F 1y , F 1z ; F 2x , F 2y , F 2z ; F 3x , F 3y , F 3z ; F 4x , F 4y , F 4z ].
Определить в объёме тетраэдра градиент скалярного поля, а также дивергенцию и ротор векторного поля. Составить для этого функцию MATLAB.
Решение . Ниже приведён текст m-функции.
% grad_div_rot - Вычисление градиента, дивергенции и ротора... в объёме тетраэдра
% =grad_div_rot(nodes,scalar,vector)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% nodes - матрица координат вершин тетраэдра:
% строкам соответствуют вершины, столбцам - координаты;
% scalar - столбцовая матрица значений скалярного поля в вершинах;
% vector - матрица компонентов векторного поля в вершинах:
% ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% grad - матрица-строка декартовых компонентов градиента скалярного поля;
% div - значение дивергенции векторного поля в объёме тетраэдра;
% rot - матрица-строка декартовых компонентов ротора векторного поля.
% При вычислениях предполагается, что в объёме тетраэдра
% векторное и скалярное поля изменяются в пространстве по линейному закону.
function =grad_div_rot(nodes,scalar,vector);
a=inv(); % Матрица коэффициентов линейной интерполяции
grad=(a(2:end,:)*scalar)."; % Компоненты градиента скалярного поля
div=*vector(:); % Дивергенция векторного поля
rot=sum(cross(a(2:end,:),vector."),2).";
Пример запуска разработанной m-функции:
>> nodes=10*rand(4,3)
3.5287 2.0277 1.9881
8.1317 1.9872 0.15274
0.098613 6.0379 7.4679
1.3889 2.7219 4.451
>> scalar=rand(4,1)
>> vector=rand(4,3)
0.52515 0.01964 0.50281
0.20265 0.68128 0.70947
0.67214 0.37948 0.42889
0.83812 0.8318 0.30462
>> =grad_div_rot(nodes,scalar,vector)
0.16983 -0.03922 -0.17125
0.91808 0.20057 0.78844
Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, а векторное и скалярное поля - безразмерные, то в данном примере получилось:
grad Ф = (-0.16983*1 x - 0.03922*1 y - 0.17125*1 z ) м -1 ;
div F = -1.0112 м -1 ;
rot F = (-0.91808*1 x + 0.20057*1 y + 0.78844*1 z ) м -1 .
§ 1.5. Основные законы теории электромагнитного поля
Уравнения ЭМП в интегральной форме
Закон полного тока:
или 
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль контура l равна полному электрическому току, протекающему через поверхность S , натянутую на контур l , если направление тока образуют с направлением обхода контура правовинтовую систему.
Закон электромагнитной индукции:
,
где E c - напряженность стороннего электрического поля.
ЭДС электромагнитной индукции e и в контуре l равна скорости изменения магнитного потока через поверхность S , натянутую на контур l , причем направление скорости изменения магнитного потока образует с направлением e и левовинтовую систему.
Теорема Гаусса в интегральной форме:
Поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность S равен сумме свободных электрических зарядов в объёме, ограниченном поверхностью S .
Закон непрерывности линий магнитной индукции:
Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Непосредственное применение уравнений в интегральной форме позволяет производить расчет простейших электромагнитных полей. Для расчета электромагнитных полей более сложной формы применяют уравнения в дифференциальной форме. Эти уравнения называются уравнениями Максвелла.
Уравнения Максвелла для неподвижных сред
Эти уравнения непосредственно следуют из соответствующих уравнений в интегральной форме и из математических определений пространственных дифференциальных операторов.
Закон полного тока в дифференциальной форме:
,
Плотность полного электрического тока,
Плотность стороннего электрического тока,
Плотность тока проводимости,
Плотность тока смещения: ,
Плотность тока переноса: .
Это означает, что электрический ток является вихревым источником векторного поля напряженности магнитного поля.
Закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:
Это означает, что переменное магнитное поле является вихревым источником для пространственного распределения вектора напряженности электрического поля.
Уравнение непрерывности линий магнитной индукции:
Это означает, что поле вектора магнитной индукции не имеет истоков, т.е. в природе не существует магнитных зарядов (магнитных монополей).
Теорема Гаусса в дифференциальной форме:
Это означает, что истоками векторного поля электрического смещения являются электрические заряды.
Для обеспечения единственности решения задачи анализа ЭМП необходимо дополнить уравнения Максвелла уравнениями материальной связи между векторами E и D , а также B и H .
Соотношения между векторами поля и электрофизическими свойствами среды
Известно, что
| (1) |
Все диэлектрики поляризуются под действием электрического поля. Все магнетики намагничиваются под действием магнитного поля. Статические диэлектрические свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора поляризованности P от вектора напряженности электрического поля E (P =P (E )). Статические магнитные свойства вещества могут быть полностью описаны функциональной зависимостью вектора намагниченности M от вектора напряженности магнитного поля H (M =M (H )). В общем случае такие зависимости носят неоднозначный (гистерезисный) характер. Это означает, что вектор поляризованности или намагниченности в точке Q определяется не только значением вектора E или H в этой точке, но и предысторией изменения вектора E или H в этой точке. Экспериментально исследовать и моделировать эти зависимости чрезвычайно сложно. Поэтому на практике часто предполагают, что векторы P и E , а также M и H коллинеарны, и электрофизические свойства вещества описывают скалярными гистерезисными функциями (|P |=|P |(|E |), |M |=|M |(|H |). Если гистерезисными характеристиками вышеназванных функций можно пренебречь, то электрофизические свойства описывают однозначными функциями P =P (E ), M =M (H ).
Во многих случаях эти функции приближенно можно считать линейными, т.е.
Тогда с учетом соотношения (1) можно записать следующее
| , | (4) |
Соответственно относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества:
Абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества:
Абсолютная магнитная проницаемость вещества:
Соотношения (2), (3), (4) характеризуют диэлектрические и магнитные свойства вещества. Электропроводящие свойства вещества могут быть описаны законом Ома в дифференциальной форме
где - удельная электрическая проводимость вещества, измеряемая в См/м.
В более общем случае зависимость между плотностью тока проводимости и вектором напряженности электрического поля носит нелинейный векторно-гистерезисный характер.
Энергия электромагнитного поля
Объемная плотность энергии электрического поля равна
,
где W э измеряется в Дж/м 3 .
Объемная плотность энергии магнитного поля равна
,
где W м измеряется в Дж/м 3 .
Объемная плотность энергии электромагнитного поля равна
В случае линейных электрических и магнитных свойств вещества объемная плотность энергии ЭМП равна
Это выражение справедливо для мгновенных значений удельной энергии и векторов ЭМП.
Удельная мощность тепловых потерь от токов проводимости
Удельная мощность сторонних источников
Контрольные вопросы
1. Как формулируется закон полного тока в интегральной форме?
2. Как формулируется закон электромагнитной индукции в интегральной форме?
3. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности магнитного потока в интегральной форме?
4. Как формулируется закон полного тока в дифференциальной форме?
5. Как формулируется закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме?
6. Как формулируется теорема Гаусса и закон непрерывности линий магнитной индукции в интегральной форме?
7. Какими соотношениями описываются электрофизические свойства вещества?
8. Как выражается энергия электромагнитного поля через векторные величины, его определяющие?
9. Как определяется удельная мощность тепловых потерь и удельная мощность сторонних источников?
Примеры применения MATLAB
Задача 1 .
Дано : Внутри объёма тетраэдра магнитная индукция и намагниченность вещества изменяются по линейному закону. Координаты вершин тетраэдра заданы, значения векторов магнитной индукции и намагниченности вещества в вершинах также заданы.
Вычислить плотность электрического тока в объёме тетраэдра, используя m-функцию, составленную при решении задачи в предыдущем параграфе. Вычисление выполнить в командном окне MATLAB, предполагая, что пространственные координаты измеряются в миллиметрах, магнитная индукция - в теслах, напряжённость магнитного поля и намагниченность - в кА/м.
Решение .
Зададим исходные данные в формате, совместимом с m-функцией grad_div_rot:
>> nodes=5*rand(4,3)
0.94827 2.7084 4.3001
0.96716 0.75436 4.2683
3.4111 3.4895 2.9678
1.5138 1.8919 2.4828
>> B=rand(4,3)*2.6-1.3
1.0394 0.41659 0.088605
0.83624 -0.41088 0.59049
0.37677 -0.54671 -0.49585
0.82673 -0.4129 0.88009
>> mu0=4e-4*pi % абcолютная магнитная проницаемоcть вакуума, мкГн/мм
>> M=rand(4,3)*1800-900
122.53 -99.216 822.32
233.26 350.22 40.663
364.93 218.36 684.26
83.828 530.68 -588.68
>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B/mu0-M)
0 -3.0358e-017 0
914.2 527.76 -340.67
В данном примере вектор полной плотности тока в рассматриваемом объёме получился равным (-914.2*1 x + 527.76*1 y - 340.67*1 z ) А/мм 2 . Чтобы определить модуль плотности тока, выполним следующий оператор:
>> cur_d=sqrt(cur_dens*cur_dens.")
Вычисленное значение плотности тока не может быть получено в сильно намагниченных средах в реальных технических устройствах. Данный пример - чисто учебный. А теперь проверим корректность задания распределения магнитной индукции в объёме тетраэдра. Для этого выполним следующий оператор:
>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),B)
0 -3.0358e-017 0
0.38115 0.37114 -0.55567
Здесь мы получили значение div B = -0.34415 Тл/мм, чего не может быть в соответствии с законом непрерывности линий магнитной индукции в дифференциальной форме. Из этого следует, что распределение магнитной индукции в объёме тетраэдра задано некорректно.
Задача 2 .
Пусть тетраэдр, координаты вершин которого заданы, находится в воздухе (единицы измерения - метры). Пусть заданы значения вектора напряжённости электрического поля в его вершинах (единицы измерения - кВ/м).
Требуется вычислить объёмную плотность электрического заряда внутри тетраэдра.
Решение можно выполнить аналогично:
>> nodes=3*rand(4,3)
2.9392 2.2119 0.59741
0.81434 0.40956 0.89617
0.75699 0.03527 1.9843
2.6272 2.6817 0.85323
>> eps0=8.854e-3 % абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, нФ/м
>> E=20*rand(4,3)
9.3845 8.4699 4.519
1.2956 10.31 11.596
19.767 6.679 15.207
11.656 8.6581 10.596
>> =grad_div_rot(nodes,ones(4,1),E*eps0)
0.076467 0.21709 -0.015323
В данном примере объёмная плотность заряда получилась равной 0.10685 мкКл/м 3 .
§ 1.6. Граничные условия для векторов ЭМП.
Закон сохранения заряда. Теорема Умова-Пойнтинга
или 
Здесь обозначено: H 1 - вектор напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H 2 - то же в среде №2; H 1t - тангенциальная (касательная) составляющая вектора напряжённости магнитного поля на поверхности раздела сред в среде №1; H 2t - то же в среде №2; E 1 вектор полной напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2 - то же в среде №2; E 1 c - сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2с - то же в среде №2; E 1t - тангенциальная составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2t - то же в среде №2; E 1сt - тангенциальная сторонняя составляющая вектора напряжённости электрического поля на поверхности раздела сред в среде №1; E 2t - то же в среде №2; B 1 - вектор магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B 2 - то же в среде №2; B 1n - нормальная составляющая вектора магнитной индукции на поверхности раздела сред в среде №1; B 2n - то же в среде №2; D 1 - вектор электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D 2 - то же в среде №2; D 1n - нормальная составляющая вектора электрического смещения на поверхности раздела сред в среде №1; D 2n - то же в среде №2; σ - поверхностная плотность электрического заряда на границе раздела сред, измеряемая в Кл/м 2 .
Закон сохранения заряда
Если отсутствуют сторонние источники тока, то
,
а в общем случае , т. е. вектор плотности полного тока не имеет истоков, т. е. линии полного тока всегда замкнуты
Теорема Умова-ПойнтингаОбъёмная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в ЭМП, равна
В соответствии с тождеством (1)
Это и есть уравнение баланса мощностей для объема V . В общем случае в соответствии с равенством (3) электромагнитная мощность, генерируемая источниками внутри объема V , идет на тепловые потери, на накопление энергии ЭМП и на излучение в окружающее пространство через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.
Подынтегральное выражение в интеграле (2) называется вектором Пойнтинга:
,
где П измеряется в Вт/м 2 .
Этот вектор равен плотности потока электромагнитной мощности в некоторой точке наблюдения. Равенство (3) - есть математическое выражение теоремы Умова-Пойнтинга.
Электромагнитная мощность, излучаемая областью V в окружающее пространство равна потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность S , ограничивающую область V .
Контрольные вопросы
1. Какими выражениями описываются граничные условия для векторов электромагнитного поля на поверхностях раздела сред?
2. Как формулируется закон сохранения заряда в дифференциальной форме?
3. Как формулируется закон сохранения заряда в интегральной форме?
4. Какими выражениями описываются граничные условия для плотности тока на поверхностях раздела сред?
5. Чему равна объемная плотность мощности, потребляемой материальной точкой в электромагнитном поле?
6. Как записывается уравнение баланса электромагнитной мощности для некоторого объёма?
7. Что такое вектор Пойнтинга?
8. Как формулируется теорема Умова-Пойнтинга?
Пример применения MATLAB
Задача .
Дано : Имеется треугольная поверхность в пространстве. Координаты вершин заданы. Значения векторов напряжённости электрического и магнитного поля в вершинах также заданы. Сторонняя составляющая напряжённости электрического поля равна нулю.
Требуется вычислить электромагнитную мощность, проходящую через эту треугольную поверхность. Составить функцию MATLAB, выполняющую это вычисление. При вычислениях считать, что вектор положительной нормали направлен так, что если смотреть из его конца, то движение в порядке возрастания номеров вершин будет происходить против часовой стрелки.
Решение . Ниже приведён текст m-функции.
% em_power_tri - вычисление электромагнитной мощности, проходящей через
% треугольную поверхность в пространстве
% P=em_power_tri(nodes,E,H)
% ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
% nodes - квадратная матрица вида ." ,
% в каждой строке которой записаны координаты соответствующей вершины.
% E - матрица компонентов вектора напряжённости электрического поля в вершинах:
% строкам соответствуют вершины, столбцам - декартовы компоненты.
% H - матрица компонентов вектора напряжённости магнитного поля в вершинах.
% ВЫХОДНОЙ ПАРАМЕТР
% P - электромагнитная мощность, проходящая через треугольник
% При вычислениях предполагается, что на треугольнике
% векторы напряжённости поля изменяются в пространстве по линейному закону.
function P=em_power_tri(nodes,E,H);
% Вычисляем вектор двойной площади треугольника
S=)]) det()]) det()])];
P=sum(cross(E,(ones(3,3)+eye(3))*H,2))*S."/24;
Пример запуска разработанной m-функции:
>> nodes=2*rand(3,3)
0.90151 0.5462 0.4647
1.4318 0.50954 1.6097
1.7857 1.7312 1.8168
>> E=2*rand(3,3)
0.46379 0.15677 1.6877
0.47863 1.2816 0.3478
0.099509 0.38177 0.34159
>> H=2*rand(3,3)
1.9886 0.62843 1.1831
0.87958 0.73016 0.23949
0.6801 0.78648 0.076258
>> P=em_power_tri(nodes,E,H)
Если предположить, что пространственные координаты измеряются в метрах, вектор напряжённости электрического поля - в вольтах на метр, вектор напряжённости магнитного поля - в амперах на метр, то в данном примере электромагнитная мощность, проходящая через треугольник, получилась равной 0.18221 Вт.